Pythagoras Formeln und Aufgaben online


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Inhalte und Fragen

  1. a² + b² = c² 

Pythagoras Formeln und Aufgaben online

Seit über 3000 Jahren kennen Menschen den Satz des Pythagoras. Jeder Schüler muss heute diesen Satz im Geometrieunterricht lernen und anwenden. In der Realschule wird der Satz von Pythagoras meist in der 9. Klasse behandelt, im Gymnasium bereits in der 8. Klasse. Hier stellen wir die berühmte Pythagoras-Formel und einige Übungsaufgaben dazu vor.

Satz des Pythagoras

Einer der wichtigsten geometrischen Sätze ist der Satz des Pythogoras. Dieser Satz besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate (a, b) gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates (c) ist:

a² + b² = c² 

Umgekehrt lässt sich für jedes Dreieck sagen, dass wenn der Satz a² + b² = c² gilt, dann handelt es sich immer um ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem der rechte Winkel der Seite c gegenüberliegt.

Übungsaufgaben zum Satz des Pythagoras

Die Aufgaben zum Satz des Pythagoras können recht unterschiedlich sein. Die einfachsten beziehen sich auf die Seitenlänge oder die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks. Oben auf dieser Seite haben wir außer diesen noch viele weitere Aufgaben gesammelt.

Aufgabe 1: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete b = 3 cm und die Hypotenuse c = 5 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt. (Lösung: 6 cm - das berühmte Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 - Pythagoreisches Tripel)

Aufgabe 2: Aus einem runden Baumstamm soll ein Balken mit einem maximalen quadratischen Querschnitt (Kantenlänge 14 cm) hergestellt werden. Berechnen Sie den Durchmesser des Baumstammes. (Lösung: 19,8 cm)

Pythagoras Beweis

Über Pythagoras von Samos und seinen Beweis

Der griechische Philosoph Pythagoras von Samos lebte in der Zeit zwischen 570 v. Chr. und 510 v. Chr. in Griechenland und Süditalien. Den meisten von uns ist er bekannt als der Entdecker des “Satz des Pythagoras”. In Wirklichkeit war der Satz des Pythagoras den Babyloniern lange vor Pythagoras selbst (ca. 1829 bis ca. 1530 v. Chr.) bekannt gewesen. Viele Historiker gehen allerdings davon aus, dass es Pythagoras als ersten gelang, den Beweis für den Satz des Pythagoras zu erbringen. Heute sind für den Satz mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Es ist der meistbewiesene mathematische Satz. 

Geometrischer Beweis für den Satz des Pythagoras (Hypotenuse)

Im folgenden Bild wird der Beweis für den Satz des Pythagoras geliefert. Zwei Quadrate mit den Seitenlägen a+b enthalten jeweils vier gleichgroße rechtwinklige Dreiecke. Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge c, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge a und einem mit Seitenlänge b. Die algebraische Lösung für den Satz lautet dann

(a + b)² = 2ab + c²

a² + 2ab + c² = 2ab + c²

a² + b² = c²


Trigonometrischer Pythagoras

Der trigonometrischer Pythagoras (sin² a + cos² a = 1) leitet sich aus dem Satz des Pythogoras ab. Wird der Winkel a im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass a seine Gegenkathete und b seine Ankathete ist, so gilt allgemein
a = sin a · c
b = cos a · c
Eingesetzt in den Satz von Pythagoras ergibt dann
(sin² a ü cos² a ) · c² = c²
sin² a + cos² a = 1

FrageAnzahl
Welchen Flächeninhalt hat ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse c = 60 cm und einer Kathete a = 48 cm?

Häufigkeit der Antworten:
1350 cm² (20.84%), 864 cm² (42.8%) richtig, 1860 cm² (19.95%), 1583 cm² (16.41%)
5154
Wie lang ist die Raumdiagonale r in einem Würfel mit der Kantenlänge a=12 cm?

Häufigkeit der Antworten:
28,0 cm (12.33%), 12,8 cm (19.38%), 20,8 cm (47.48%) richtig, 18,2 cm (20.81%)
2523
Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten mit den Längen a=5 cm und b=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.

Häufigkeit der Antworten:
15,8 cm (55.68%) richtig, 18,5 cm (29.55%), 8,5 cm (11.36%), 5,8 cm (3.41%)
176
Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 5 cm und 7 cm?

Häufigkeit der Antworten:
6,7 cm (11.91%), 6,8 cm (22.49%), 8,6 cm (48.01%) richtig, 7,8 cm (17.59%)
6843
Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine 12 cm lange Basis und 8 cm lange Schenkel. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Häufigkeit der Antworten:
63,4 cm² (23.08%), 36,7 cm² (33.01%), 73,4 cm² (22.56%), 31,7 cm² (21.35%) richtig
6685
In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Länge der Basis 8 cm und die Höhe ist 4 cm lang. Wie lang sind die beiden Schenkel?

Häufigkeit der Antworten:
7,5 cm (23.3%), 5,7 cm (50.57%) richtig, 5,8 cm (17.61%), 8,5 cm (8.52%)
176
In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Länge der Basis 3,5 cm. Jeder Schenkel ist 4 cm lang. Berechne die Länge der Höhe zur Basis.

Häufigkeit der Antworten:
4,6 cm (17.05%), 6,4 cm (24.43%), 6,3 cm (18.18%), 3,6 cm (40.34%) richtig
176
Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von 12 cm. Wie lang ist die Diagonale?

Häufigkeit der Antworten:
15 cm (16.98%), 17 cm (50.94%) richtig, 19 cm (16.98%), 21 cm (15.09%)
53
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete b = 3 cm und die Hypotenuse c = 5 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt.

Häufigkeit der Antworten:
5 cm (12.79%), 5,5 cm (19.56%), 7 cm (29.26%), 6 cm (38.38%) richtig
5557
Aus einem runden Baumstamm soll ein Balken mit einem maximalen quadratischen Querschnitt (Kantenlänge 14 cm) hergestellt werden. Berechnen Sie den Durchmesser des Baumstammes.

Häufigkeit der Antworten:
18,9 cm (15.19%), 19,8 cm (40.96%) richtig, 16,9 cm (25.99%), 19,6 cm (17.86%)
3186


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